如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE.

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1. 如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE.

(1) 求证：△ABC≌△ABE；

(2) 连接AD，求AD的长.

【考点】

旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点.将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'.

(1) 探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；

①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；

②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝ $\text{[math]}$ 时，此时EC′的长为.

综合题困难

2. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在平面内有一个点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），以点 $\text{[math]}$ 为中心，把线段 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上；

①依题意补全图形；

②设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图，若点 $\text{[math]}$ 不在边 $\text{[math]}$ 上，猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系及位置关系，并证明．

综合题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 的直线，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 问题发现：如图①，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则容易发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为.

(2) 拓展探究：当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图②的位置时，试猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；

(3) 解决问题：当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图③的位置时（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的两侧），若此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

综合题困难