在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD.

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1. 在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD.

(1) 如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；

(2) 将线段CA绕点C顺时针旋转α时

①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；

②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明.

【考点】

线段垂直平分线的性质; 圆的综合题; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动.

(1) 操作探究：如图1， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， F是AE的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，点D正好落在 $\text{[math]}$ 的角平分线上，得到 $\text{[math]}$ ，求出此时 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；

(3) 拓展应用：如图3，在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

2. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= $\text{[math]}$ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．

(1) 请你在图中把图补画完整；

(2) 求C′B的长．

综合题普通

3. 已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP ，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．

(1) 依据题意补全图1；

(2) 用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；

(3) 连接OC ，写出一个OC的值，使得对于任意点P ，总有OP+OQ＝4，并证明．

综合题普通