已知：抛物线经过，，三点．

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1. 已知：抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上任意一点，连 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 取最大值时点P的坐标，并求此时 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图2，点Q为抛物线对称轴与 $\text{[math]}$ 轴的交点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为点D．

①求 $\text{[math]}$ 的周长及 $\text{[math]}$ 的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为大于0的常数），求点M的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 二次函数图象上点的坐标特征;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 填空： $\text{[math]}$ ；

(2) 设抛物线的顶点是D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转，当射线 $\text{[math]}$ 经过点D时，射线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点P，求点P的坐标；

(3) 设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点， $\text{[math]}$ 轴且 $\text{[math]}$ ，点H是线段 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为T，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为第四象限内抛物线上的一个动点．

(1) 求此抛物线对应的函数表达式；

(2) 如图1所示，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，分别交直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形相似，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2所示，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 中有某个角的度数等于 $\text{[math]}$ 度数的 $\text{[math]}$ 倍时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

综合题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx²+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．

(1) 求出抛物线的解析式；

(2) 在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3) 点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S_△_BCN、S_△_PMN满足S_△_BCN=2S_△_PMN ，求出 $\text{[math]}$ 的值，并求出此时点M的坐标．

综合题困难