如图，在△ABC中，以AB为直径的半圆O交BC边于点D，交AC边于点E，过点D作半圆O的切线交AC于点F，DF⊥AC，连接AD，DE.

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1. 如图，在△ABC中，以AB为直径的半圆O交BC边于点D，交AC边于点E，过点D作半圆O的切线交AC于点F，DF⊥AC，连接AD，DE.

(1) 求证：AB＝AC；

(2) 若AB＝2，∠CAB＝45°.填空：

① $\text{[math]}$ 的长为_；②△CDE的面积为_.

【考点】

圆的综合题; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

(1) 问题提出：如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为.

(2) 问题探究：如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S_△ABF：S_△BFD的值.

(3) 问题解决：如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m.按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m.已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？

综合题困难

2. 如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条互相垂直的弦，垂足为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作. $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心 $\text{[math]}$ ，茬 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

3. 如图1，已知AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，BD平分∠ABC，过D作DP⊥BC交BC的延长线于点P.

(1) 求证：DP是⊙O的切线.

(2) 如图2，若E是OB的中点，EF⊥OB交直线DP于点F，EF= $\text{[math]}$ ，tan∠ABD＝ $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径.

综合题困难