在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

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1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

(1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 点Q是线段AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3) 点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上方的抛物线 $\text{[math]}$ 上运动（不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，在抛物线 $\text{[math]}$ 上，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点． $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 若点D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且 $\text{[math]}$ ，直接写出点P的坐标．

综合题困难

3. 已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求m的值；

(2) 如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，E为PD中点，连接BE，设点P的横坐标为t， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S与t的函数关系式；

(3) 如图3，在（2）的条件下，连接CE，F为CE上一点，连接PF，M为抛物线的顶点，连接PM，将射线PM绕点P逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，交y轴于点G，交抛物线于点N，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点N的坐标．

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