如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.

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1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.

(1) 求证：AC是⊙O的切线；

(2) 过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；

(3) 若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长.

【考点】

等腰三角形的性质; 切线的判定; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(3) 如图2，连结 $\text{[math]}$ .

①当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值.

②以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心，将线段 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

2. 如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：CE是半圆的切线；

(2) 若CD=10， $\text{[math]}$ ，求半圆的半径．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，过C点作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点D，E为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通