如图

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1. 如图

(1) 【基础巩固】如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若BD=3，CD=1，求AB²-AC²的值；

(2) 【尝试应用】如图②，点C在△ABD的边BD上，满足AB=AC，求证：AD²-AC²=BD·CD；

(3) 【拓展提高】如图③，已知点D为Rt△ABC斜边上一点，过点D作AB的垂线，交AC于点E，点G在CE的中垂线上，连结AG，若CG= $\text{[math]}$ BD，求证：求证：AG＝ $\text{[math]}$ （AD+AB）．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2) 【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．连接BD，CE．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

实践探究题困难

(1) 【基础探究】如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 【拓展延伸】如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(3) 【拓展延伸】如图③，点 $\text{[math]}$ 为四边形 $\text{[math]}$ 内部一点，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

实践探究题困难

3. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ，垂足为P．像 $\text{[math]}$ 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

　　

(1) [特例探索]

如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) [归纳证明]

请你观察（1）中的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．

(3) [拓展应用]

利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如图4所示，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难