问题探究

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1. 问题探究

(1) 请在图①、图② 各作两条直线，使它们将正方形ABCD与半⊙O的面积三等分；

(2) 如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图③中过顶点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，并说明理由；

问题解决

(3) 位于宝鸡市凤翔区的机场将计划于2024年建成通航．如图④，在机场旁边有一块平行四边形ABCD空地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，根据视觉效果和花期特点，机场设计部门想在这块空地上种上等面积的三种不同的花，要求从入口点A处修两条笔直的小路（小路面积忽略不计）方便旅客赏花，两条小路将这块空地的面积三等分．那么设计部门能否实现自己的想法？若能实现，请通过计算，画图说明；若不能，请说明理由．

【考点】

三角形的面积; 等腰三角形的性质; 勾股定理;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

(1) 画出一个以AB为一边的△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE＝45°，△ABE的面积为 $\text{[math]}$ ；

(2) 画出以CD为一腰的等腰△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为 $\text{[math]}$ ；

(3) 在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．

综合题普通

2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，

(1) 求AB的长；

(2) 求CD的长．

综合题普通

如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， $\text{[math]}$ .

(1) 探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝，AC＝，△ABC的面积 $\text{[math]}$ ＝.

(2) 拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n，（当点D与A重合时，我们认为 $\text{[math]}$ ＝0）.

用含x、m或n的代数式表示 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；

(3) 求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；

(4) 对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.

发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.

综合题困难