如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造平行四边形PEQD．设点P运动的时间为t秒，．

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1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造平行四边形PEQD．设点P运动的时间为t秒， $\text{[math]}$ ．

(1) 求当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

(2) 设平行四边形PEQD的面积为S（ $\text{[math]}$ ），求S关于t之间的函数关系式；

(3) 连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过平行四边形PEQD的对称中心O？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

【考点】

几何图形的面积计算-割补法; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t ．

(1) 在运动过程中始终与线段EC相等的线段是；四边形CEAF面积＝．

(2) 当t＝1秒时，求线段CQ的长．

(3) 过点B作BP平行于CF交EC于点P ．当t＝　 ▲ 　时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K ，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．

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2. 已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP ．

(1) 如图1，点A ， B ， D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；

(2) 将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C ， D ， P恰好在同一条直线上．

①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；

②连接BD ，交AE于点F ．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

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3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点P从点A出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动.当点P不与点A、点B重合时，过点P作 $\text{[math]}$ ，其中点Q在 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ .设点P运动的时间为t（秒）.

(1) 边 $\text{[math]}$ 的长为；点C到边 $\text{[math]}$ 的距离为.

(2) 当点F落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

(3) 设线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点M，线段 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点N.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

(4) 连结 $\text{[math]}$ ，沿直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出t的值.

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