如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点.交AB于D.以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F.

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1. 如图，已知：在△ABC中， $\text{[math]}$ ，点P是BC边上的动点. $\text{[math]}$ 交AB于D.以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F.

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①当 $\text{[math]}$ ，求PC的长.

②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长.

(3) 若 $\text{[math]}$ ，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为.

【考点】

等腰三角形的性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，锐角△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为直径，过点B作BF⊥AB交⊙O于点E，交DC的延长线于点F．

(1) 求证：∠ABD=∠CBF．

(2) 连结DE，若DE=20，sin∠A= $\text{[math]}$ ，求BF的长．

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$

(1) 当点D为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$

①如图1，若点M、N分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，问： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有何数量关系?证明你的结论；

②如图2，若 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，使点M在 $\text{[math]}$ 上，点N在 $\text{[math]}$ 的延长线上，完成图2，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明；

(2) 如图3，当点D为 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的积.

综合题困难

3. 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，点M是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（不与C、D重合），连结 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 下方作 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图，当点M在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图， $\text{[math]}$ ，当点M在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点E．

①试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难