综合与实践如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E．

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1. 综合与实践

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 求线段 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．

【考点】

二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3) D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.

(4) 点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

(1) 求a的值和直线AB的解析式；

(2) 过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁=4S₂ ，求m的值；

(3) 点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱ $\text{[math]}$ 周长取最大值时，求点G的坐标．

综合题困难

3. 如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax²+bx+c上．

(1) 求抛物线解析式；

(2) 在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

(3) 在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

综合题困难