如图，已知二次函数的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

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1. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

(1) 求a的值和直线AB的解析式；

(2) 过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁=4S₂ ，求m的值；

(3) 点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱ $\text{[math]}$ 周长取最大值时，求点G的坐标．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ．点P是抛物线在第一象限上的动点．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 在（2）的条件下，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，点F在线段 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求所有满足条件的点E坐标．

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2. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为顶点的抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的另一交点为 $\text{[math]}$ (如图1)，连 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是否变化，若变化，求出 $\text{[math]}$ 的范围；若不变，求出 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 平移(2)中的抛物线，使顶点为 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ (如图2) ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上两点，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 经过的定点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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3. 如图，抛物线y＝－x²＋2x＋c分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D.

(1) 如图（1），c＝3

①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式；

②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t＋1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点.若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值.

(2) 如图（2），若DE＝3AD，求c的值.

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