定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

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1. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1) 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，此时点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则四边形 $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

(2) 如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是“直等补”四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 旋转的性质; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，．

(2) 如图（1），已知格点（小正方形的顶点） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你直接写出一个以格点为顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 $\text{[math]}$ 的顶点M的坐标为；

(3) 如图（2），将 $\text{[math]}$ 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ，即四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形；

(4) 若将图（2）中 $\text{[math]}$ 绕顶点B按顺时针方向旋转a度 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °，四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形．

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通

抛物线y= $\text{[math]}$ +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

(1) 先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

(2) 设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

(3) 若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= $\text{[math]}$ ，求点M的坐标．

综合题普通