定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

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1. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

(1) 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上的点，将 $\text{[math]}$ 绕B点旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，此时点E的对应点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则四边形 $\text{[math]}$ 为“直等补”四边形，为什么？

(2) 如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是“直等补”四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的长．

②若M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的动点，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1) 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，此时点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则四边形 $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

(2) 如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是“直等补”四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

①试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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2. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，．

(2) 如图（1），已知格点（小正方形的顶点） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你直接写出一个以格点为顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 $\text{[math]}$ 的顶点M的坐标为；

(3) 如图（2），将 $\text{[math]}$ 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ，即四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形；

(4) 若将图（2）中 $\text{[math]}$ 绕顶点B按顺时针方向旋转a度 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °，四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形．

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3. 定义：平面直角坐标系中有点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”．

(1) ①点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”所组成的图形面积是；

②反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上（填“存在”或者“不存在”）点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”．

(2) 直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，在其图像上，点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”组成的线段长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），将它的图象 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得曲线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上都存在 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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