如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

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1. 如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

(1) 问题发现 $\text{[math]}$ 的值为；

(2) 探究与证明：将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3) 拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝ $\text{[math]}$ ，则AH的长为．

【考点】

菱形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

(1) 如图1，菱形 $\text{[math]}$ 的顶点E、H在菱形 $\text{[math]}$ 的边上，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的结果（不必写计算过程）；

(2) 将图1中的菱形 $\text{[math]}$ 绕点A旋转一定角度，如图2，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；若无变化，请说明理由．

综合题困难

2. 如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交对角线 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，联结 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的大小；

②如图3，联结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 在线段 $\text{[math]}$ 上求作点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

(2) 在（1）的作图条件下，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线.

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