在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接.

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1. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，如图，求证：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .

(2) 当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

【考点】

平行四边形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的直角顶点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，交边 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 若点E为 $\text{[math]}$ 中点，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ °（用含有α的代数式表示）；

②若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）．

综合题困难

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通