如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结.

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

(1) 求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 在抛物线的对称轴上取一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，使得以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点、 $\text{[math]}$ 为边的四边形为平行四边形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 在（2）的条件下，将点 $\text{[math]}$ 向下平移5个单位得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线的对称轴上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的性质; 解直角三角形; 二次函数图象上点的坐标特征; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知抛物线y= $\text{[math]}$ x²+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=−x+b交抛物线于另一点C（－5，6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE∥AC，交该抛物线于点E．

(1) 求m，n，b的值；

(2) 求tan∠ACB；

(3) 探究在点D运动过程中，是否存在∠DEA=45°，若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m.

①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；

②连接AP，CP，求当△ACP面积为 $\text{[math]}$ 时点P的坐标；

(3) 若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y = x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．

(1) 二次函数的解析式为y =；

(2) 证明点（－m，2m－1）不在（1）中所求的二次函数图象上；

(3) 若C为线段AB的中点，过点C做CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于D．

y轴上存在点K，使K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是．

(4) 二次函数的图象上是否存在点P，使得三角形 S_{△ POE}＝2S_△ABD？若存在，求出P坐标，若不存在，请说明理由．

综合题困难