如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E.

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1. 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上，且不与点B、C重合，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点E.

(1) 当点P是 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F.

①证明 $\text{[math]}$ ，并求出在（1）条件下 $\text{[math]}$ 的值；

②连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

③如图2， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，点G是 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

【考点】

等腰三角形的判定; 勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE ，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点B'处．

(1) 如图1，当点E与点C重合时，CB'与AD交于点F ，求证：FA＝FC；

(2) 如图2，当点E不与点C重合，且点B'在对角线AC上时，求CE的长．

综合题困难

2. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积.

综合题普通

3. 已知在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，动点P在x轴正半轴上，作矩形OABP，点C为PB中点，△ABC沿AC折叠后得到△ADC，直线CD与矩形OABP一边交于点E.

(1) 如图，当点E与原点O重合时，

①求证： $\text{[math]}$ .

②求OP长.

(2) 当 $\text{[math]}$ ，求点P坐标.

综合题困难