在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．

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1. 在菱形 $\text{[math]}$ 和正三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．（不必证明）

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

【考点】

三角形的综合; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 巩固与提高：如图：

(1) 基础巩固：如图①， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 尝试应用：如图②，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边 $\text{[math]}$ 上两点，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点P处，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 拓展提高：如图③，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点P是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ， G为 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) ①求证： $\text{[math]}$ ；

②若H为 $\text{[math]}$ 中点，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系：．

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ ．

(1) 写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(2) 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 在(2)的条件下，作 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通