和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.

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1. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，运动到点B、C停止.

(1) 如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3) 当点D运动到什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $\text{[math]}$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

【考点】

三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

①证明 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

综合题困难

2. 巩固与提高：如图：

(1) 基础巩固：如图①， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

(2) 尝试应用：如图②，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边 $\text{[math]}$ 上两点，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点P处，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 拓展提高：如图③，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点P是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

3. 在菱形 $\text{[math]}$ 和正三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．（不必证明）

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3) 如图3，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

综合题困难