如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.

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1. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.

(1) 求证：△ABE≌△CDF；

(2) 若AB＝3 $\text{[math]}$ ， BE＝2，求四边形AECF的面积.

【考点】

三角形的面积; 勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 有公共顶点 $\text{[math]}$ ，且顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积差．

综合题普通

(1) 【问题初探】如图1，E是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点，延长 $\text{[math]}$ 至点F，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

(2) 【问题再探】如图2，E，M分别是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上一点，分别过点M，E作 $\text{[math]}$ 于点P， $\text{[math]}$ 于点Q，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点N.连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ .

①求证： $\text{[math]}$ .

②探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积关系，并说明理由.

(3) 【问题延伸】如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，M分别是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积关系是否仍成立.

综合题困难

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 4 ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在其右侧作正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，点 $\text{[math]}$ 的位置也随之改变，则点 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 上吗？如果在，请给出证明，如果不在，请说明理由．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动时， $\text{[math]}$ 的面积如何变化？请写出推理过程．

综合题普通