已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转，得到线段BD；连接CP，DP，AD，取AD中点M，连接BM，BC．

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1. 已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段BD；连接CP，DP，AD，取AD中点M，连接BM，BC．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①如图1，若点P为AB中点，直接写出∠CBM的度数为，线段BC与BM的数量关系为．

②如图2，若点P不为AB中点时，请探究线段BC与BM的数量关系，并说明理由．

(2) 如图3，若PA＝PB＝2，当∠CPB＝105°时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

(2) 如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC²+BC²=AC² ．（即四边形ABCD是勾股四边形）

综合题普通

2. 设等边三角形的内切圆半径为 $\text{[math]}$ 外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，平面内任意一点 $\text{[math]}$ 到等边三角形中心的距离为 $\text{[math]}$ 若满足 $\text{[math]}$ 则称点 $\text{[math]}$ 叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，等边 $\text{[math]}$ 的三个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) ①等边 $\text{[math]}$ 中心的坐标为；

②已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中，是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点的是；

(2) 如图1，过点 $\text{[math]}$ 作直线交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ．

①若线段 $\text{[math]}$ 上存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②将直线 $\text{[math]}$ 向下平移得到直线 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，直线 $\text{[math]}$ 上总存在等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向右移动，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 上所有点都是等边 $\text{[math]}$ 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有正确的 $\text{[math]}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.

(1) 求证：△CDE是等边三角形；

(2) 如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

(3) 如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

综合题普通