如图1，在矩形ABCD中，， .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F.

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1. 如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 $\text{[math]}$ ，交AB于点F.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接CF，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.

①求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求线段DE的长.

【考点】

两点之间线段最短; 矩形的性质; 点与圆的位置关系; 相似三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D．

(1) 如图1，求证：四边形ABCD是矩形．

(2) 如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形．

综合题普通

(1) 如图1，在正方形ABCD中，点E ， F分别在BC ， CD上，AE⊥BF于点M ，求证：AE=BF；

(2) 如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD ， AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M ，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

综合题普通

3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.

(1) 如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是；

(2) 如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

(3) 若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.

综合题困难