已知，直线ABCD，与交于点.

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1. 已知，直线AB $\text{[math]}$ CD， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系，请说明理由；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的平分线上任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数（用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示）.

【考点】

平行线的性质; 三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 对顶角及其性质; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题困难

1. 今年除夕夜长江两岸的灯光秀璀璨夺目，照亮山城的山水桥梁城市楼阁，人民欢欣鼓舞．观看表演的小语同学发现两岸的灯光运动是有规律的，如图1所示，灯A射出的光线从AQ开始顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射出的光线从BM开始顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停旋转．

假设长江两岸是平行的，即PQ∥MN，点A在PQ上，B、C、D在MN上，连接AB、AC、AD，已知AC平分∠BAP，AD平分∠CAP．

(1) 如图1，若∠ABD＝40°，则∠CAQ＝；

(2) 如图2，在PQ上另有一点E，连接CE交AD于点F，点G在MN上，连接AG，若∠CAG＝ $\text{[math]}$ ∠CAE，∠EFD+ $\text{[math]}$ ∠DAG＝180°，试证明：EC∥AB．

(3) 如图3，已知灯A射出的光线旋转的速度是每秒10°，灯B射出的光线旋转的速度是每秒30°，若灯B射出的光线从BM出发先转动2秒，灯A射出的光线才从AQ出发开始转动，设灯A转动的时间为t秒，在转动过程中，当0≤t≤12时，请直接写出灯A射出的光线与灯B射出的光线相交且互相垂直时的时间t的值．

综合题困难

2. 如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.

(1) 当β＝80°时，求∠DEB的度数.

(2) 试用含α的代数式表示β.

(3) 若β＝kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.

综合题困难

3. 如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD.

(1) 试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；

(2) 如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由.

综合题普通