“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m．（参考数据：，，，）

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1. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 $\text{[math]}$ ，用绳子拉直 $\text{[math]}$ 后系在树干 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，通过调节点 $\text{[math]}$ 的高度可控制“天幕”的开合， $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m．

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 天晴时打开“天幕”，若 $\text{[math]}$ ，求遮阳宽度 $\text{[math]}$ （结果精确到0.1m）；

(2) 下雨时收拢“天幕”， $\text{[math]}$ 从65°减少到45°，求点 $\text{[math]}$ 下降的高度（结果精确到0.1m）．

【考点】

矩形的判定与性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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综合题普通

1. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ 米的真空管 $\text{[math]}$ 与水平线 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，倾斜屋顶上的E处到水平线的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，C、D、E在同一直线上，且 $\text{[math]}$ ．求安装热水器的铁架水平横管 $\text{[math]}$ 的长度（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ 米）

综合题普通

2. 2025年央视春节联欢晚会中机器人参与表演的《秧 $\text{[math]}$ 》令人印象深刻，随着科技发展，机器人逐步走进我们的生活，给生产活动带来了极大的助力．如图1所示的“手臂机器人”的手臂与人体上肢类似．如图2，这是处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图， $\text{[math]}$ 是垂直于工作台的移动基座， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为机器人的大、小臂，其中小臂 $\text{[math]}$ 米，大臂 $\text{[math]}$ 米，移动基座 $\text{[math]}$ 米，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时：

(1) 求大、小臂连接处B到移动基座 $\text{[math]}$ 的水平距离；

(2) 求点C到工作台的高度 $\text{[math]}$ 的长．

$\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

综合题普通

3. 如图1是一种可折叠的台灯，图2是台灯的结构图， $\text{[math]}$ 是可以绕点A旋转的支架，点C为灯泡的位置，灯罩可绕点C旋转.量得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时（图2），求灯泡C所在的高度；

(2) 在（1）的条件下，旋转支架 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 固定）.当 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 变成 $\text{[math]}$ （图3）时，且 $\text{[math]}$ 的度数不变， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.（结果精确到0.1，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通