下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，线段，，及．求作：矩形，使，．作法：如图， ①在射线，上分别截取，；②以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，．四边形就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：

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1. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．

已知：如图 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ．

求作：矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

作法：如图 $\text{[math]}$ ，

①在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，再以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内部交于点 $\text{[math]}$ ；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的矩形．

根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形（）（填推理的依据）．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形（）（填推理的依据）．

【考点】

矩形的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，24个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点。

(1) 在图1中画出以AB为对角线的格点矩形APBQ（顶点均在格点上）。

(2) 如图2，已知点C，D，E，F，M均在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点N，连结MN，使得直线MN平分四边形CDEF的面积。

综合题普通

2. 在数学课上，老师提出问题：如何用尺规作一个矩形？

小华的设计如下：

①如图，任取一点O，过点O作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线 $\text{[math]}$ 交于点A，C，与直线 $\text{[math]}$ 交于点B，D；

③连接AB，BC，CD，DA．

所以，四边形ABCD即为所求作的矩形．

老师说小华的设计是正确的，请你根据小华的设计完成以下问题：

(1) 在作图区内，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 将证明四边形ABCD是矩形的过程书写完整．

综合题普通

3. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD．

作法：如图

①以点B为圆心，AC长为半径作弧；

②以点C为圆心，AB长为半径作弧；

③两弧交于点D，A，D在BC同侧；

④连接AD，CD．

所以四边形ABCD是矩形，

根据小明设计的尺规作图过程，

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2) 完成下面的证明.

证明：链接BD．

∵AB= ▲ ， AC= ▲ ， BC=BC

∴ΔABC≌ΔDCB

∴∠ABC=∠DCB=90°

∴AB∥CD．

∴四边形ABCD是平行四边形

∵∠ABC=90°

∴四边形ABCD是矩形.（）(填推理的依据)

综合题普通