如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，以点A为中心．把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得△ ，连接．

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1. 如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，以点A为中心．把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得△ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 若AD＝4，DE＝1，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

(1) 如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．

小明同学的想法是：不妨设PA＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝度．

(2) 请你参考小明同学的方法，解答下列问题．

如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB等于多少度．请写出推理过程．

综合题普通

2. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1) 写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；

(2) 如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．

(3) 如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC² ，即四边形ABCD是勾股四边形．

(4) 若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接AD、DC，则∠DCB=°，四边形ABCD是勾股四边形．

综合题普通

3. 如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD.

(1) 求证：DE⊥BC；

(2) 若AC＝3 $\text{[math]}$ ，BC＝7，求线段BD的长.

综合题普通