在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．

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1. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．

(1) 求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；

(2) 如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S₁ ， △PEC的面积为S₂ ，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】

两一次函数图象相交或平行问题; 二次函数的最值; 轴对称的应用-最短距离问题; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1) 求此抛物线的函数解析式.

(2) 点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3) 点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

综合题困难

2. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 交二次函数 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该二次函数的图象上，设过点 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .

(1) 若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为8.

①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的坐标；

②点 $\text{[math]}$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不能，请说明理由；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

综合题困难

3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4经过A、B两点.

(1) 写出点A、点B的坐标；

(2) 若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

(3) 在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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