在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形 .

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1. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 交二次函数 $\text{[math]}$ 的图象于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该二次函数的图象上，设过点 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .

(1) 若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为8.

①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的坐标；

②点 $\text{[math]}$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不能，请说明理由；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

【考点】

两一次函数图象相交或平行问题; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1) 求此抛物线的函数解析式.

(2) 点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3) 点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

综合题困难

2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4经过A、B两点.

(1) 写出点A、点B的坐标；

(2) 若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

(3) 在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的交点.

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示顶点 $\text{[math]}$ 的坐标.

(2) ①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值均随 $\text{[math]}$ 的增大而增大，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

②若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时，二次函数的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

(3) 试证明：无论 $\text{[math]}$ 取任何值，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 总有两个不同的交点.

综合题困难