如图，已知边长为10的正方形，是边上一动点与、不重合，连结，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．

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1. 如图，已知边长为10的正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上的点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的角平分线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 请直接写出 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大．

【考点】

二次函数的最值; 三角形的面积; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点， $\text{[math]}$ ，ME交CD于F，交AD的延长线于点E.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

综合题普通

2. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为x，CQ的长为y．

(1) y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，

(2) 当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

综合题普通

3. 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 边的中点，P为对角线 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图②，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难