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1. 两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．

(1) 如图1，当点E在AC上，点D在BC上时， ． 求；
(2) 如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求；
(3) 如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．
【考点】
相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1) 问题发现

① 当 时， ；② 当 时，

(2) 拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
(3) 问题解决

当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
综合题 普通
2. 定义：先将△ABC以点A为位似中心放大或缩小，接着将所得三角形以点A为旋转中心，逆时针旋转一个角度α后，得到△ADE，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”．

理解：

(1) 如图1，△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”．若α＝20°，∠D＝100°，∠C＝30°，则∠BAE的度数为；
(2) 如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD是高，点E为DC上一动点，以线段AE为斜边在右侧作Rt△AEF ， 使∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，连接DF，求证：△ABE与△ADF互为“旋转相似三角形”；

运用：
(3) 如图3，△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”，连接BD、CE，若∠ABC+∠ADC =90°，AB＝2AC，DE=3，CD=4，求BD的长
综合题 困难
3. 如图

问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．

(1) 问题探究：在旋转过程中，

①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．

②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．

③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为（直接写出结论，不必证明）
(2) 当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
综合题 困难