如图，在矩形中，，对角线、交于点O，点M为对角线上一点，连接，在内部做射线与线段交于点N（不与点A、点O重合）、与线段交于点P，且．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点O，点M为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部做射线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点N（不与点A、点O重合）、与线段 $\text{[math]}$ 交于点P，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的正切值；

(2) 射线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 与点Q，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 设线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出y关于x的函数关系式，并写出取值范围．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．

(1) 求BC的长；

(2) 用含t的代数式表示线段QM的长；

(3) 设矩形PQMN与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；

(4) 连结QN，当QN与 $\text{[math]}$ 的一边平行时，直接写出t的值．

综合题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点E，射线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图，当点P在边 $\text{[math]}$ 上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 如图，矩形ABCD，BF⊥AC交CD于点E，交AD的延长线于点F.

(1) 求证：AB²=BC·AF.

(2) 当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， DF=5时，求AC的长.

综合题普通