综合实践课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：，斜边重合拼成四边形，接着在，上取点E，F，连，，使.

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1. 综合实践课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，斜边重合拼成四边形，接着在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上取点E，F，连 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .

(1) 若拼成的四边形如图2所示：则 $\text{[math]}$ ﹔

(2) 如图3，连接对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G，H，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

①判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由.

② $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等腰三角形的判定; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G，

(1) 求证：EF=EG；

(2) 如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

(3) 如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

(1) 当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；

(2) 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

综合题困难

3. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1) 如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.

(2) 在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.

(3) 如图2，△ABC中，AC=2，BC= $\text{[math]}$ ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.

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