我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”.根据该约定，完成下列各题：

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1. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”.根据该约定，完成下列各题：

(1) 在下列关于x的函数中，是“D函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D函数”的打“×”.

① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 是关于x的“D函数” $\text{[math]}$ 的一对“D点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $\text{[math]}$ 的右侧，求a，b，c的值或取值范围；

(3) 若关于x的“D函数” $\text{[math]}$ （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数y=ax²+bx+c的性质; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标.

(2) 若此函数图象对称轴为直线 $\text{[math]}$ 时，求函数的最小值.

(3) 设此二次函数的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .

综合题困难

2. 已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数，且a≠0)的图象过点(3，－1)．

(1) 判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．

(2) 若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．

(3) 已知点(x₁ ， y₁)和(x₂ ， y₂)在该函数图象上，且当x₁＜x₂≤ $\text{[math]}$ 时，始终有y₁＞y₂ ，求a的取值范围．

综合题普通

3. 如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）²+k（a≠0）的对称轴1的直线上取点A（h，k+ $\text{[math]}$ ），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点和点A关于点P对称，过A作直线m⊥l．又分别过点B，C作直线BE⊥m和CD⊥m，垂足为E，D．在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．

(1) 直接写出抛物线y= $\text{[math]}$ x²的焦点坐标以及直径的长．

(2) 求抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 的焦点坐标以及直径的长．

(3) 已知抛物线y=a（x-h）²+k（a≠0）的直径为 $\text{[math]}$ ，求a的值．

(4) ①已知抛物线y=a（x-h）²+k（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．

②直接写出抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 的焦点短形与抛物线y=x²-2mx+m²+1公共点个数分别是1个以及2个时m的值．

综合题困难