如图（1），在四边形ABCD中，，，以点A为顶点作，且，连接EF．

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1. 如图（1），在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点A为顶点作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接EF．

(1) 观察猜想如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，

①四边形ABCD是（填特殊四边形的名称）；

②BE，DF，EF之间的数量关系为．

(2) 类比探究如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) 解决问题如图（3），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E均在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求DE的长．

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 $\text{[math]}$ ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2

(1) 在图2中证明BE=CF；

(2) 若∠BAE=45°，求CF的长度；

(3) 当CF= $\text{[math]}$ 时，直接写出旋转角α的度数．

综合题普通

2. 如图①，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，点H恰为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通

(1) 方法探索：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．（根据所给的铺助线完成证明）

(2) 方法拓展：如图②．在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝ $\text{[math]}$ ∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．并证明你的猜想．

(3) 知识应用：如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝5，AD＝4，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，求AE的长度．

综合题普通