在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.

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1. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH.

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，

(2) 如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K.

①求证： $\text{[math]}$ ；

②设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和四边形AEHI的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位速度向 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以都秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向 $\text{[math]}$ 运动，其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.以 $\text{[math]}$ 为边在它的右侧作正方形 $\text{[math]}$ .设两点的运动时间为 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的高 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 在动点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，当正方形 $\text{[math]}$ 的某一边被 $\text{[math]}$ 的一边平分时，求出此时 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

2. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

(1) 求证：△ABE≌△DFA；

(2) 如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．

综合题普通

3. 如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F.

(1) 求证：△ABC∽△BCD；

(2) 已知tan∠ABC＝2，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通