综合与实践问题情境如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．

1. 综合与实践

问题情境

如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，点D在射线 $\text{[math]}$ 上沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 探究展示：当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，当点G恰好是 $\text{[math]}$ 中点时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

(3) 拓展探究：在图2中，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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实践探究题困难

1. 已知正方形ABCD ，将边AB绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至线段AE ， ∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F ．

(1) 【探索发现】

如图1，当 $\text{[math]}$ 为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【深入探究】

在（1）的条件下， ①∠DEB的度数为；②连接CF ，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；

(3) 【拓展思考】

若正方形的边长 $\text{[math]}$ ，当以点C ， F ， D ， E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．

实践探究题困难

2. 【问题背景】

人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 $\text{[math]}$ ．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为常数）．

(1) 【特例证明】

如图1，将 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，两直角边分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①填空： $\text{[math]}$ ▲ ；

②求证： $\text{[math]}$ ．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 $\text{[math]}$ ；也可过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②． $\text{[math]}$

(2) 【类比探究】

如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向平移，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并说明理由．

(3) 【拓展运用】

如图3，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．