如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）.

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1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位），点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）.

(1) 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等；

(3) 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；

(4) 以线段 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 运动路径的长.

【考点】

解直角三角形; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=6 $\text{[math]}$ .对角线AC， BD相交于点O，点E， F分别在对角线AC，BD.上，CE=2AE，连结EF.

(1) 求线段OE的长和∠AOB的度数.

(2) 当点F在点B处时，以EF为边在右下方作等边△EFG，连结OG.在点F运动过程中，点G也随之运动.如图2，过点F作AB的平行线交AC于点H.若设线段BF长为x，线段OG长为y，求y关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围.

(3) 若点F在直线BD上运动，以EF为边作等边△EFG.当点G恰好落在矩形ABCD的边上时，求FG的长.

综合题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 求y关于x的函数表达式.

(3) 连结 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连结 $\text{[math]}$ .

①在 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为一边的角等于 $\text{[math]}$ 时，求y的值.

②作点H关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，当点H落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 按逆时针顺序排列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，菱形 $\text{[math]}$ 可以绕点 $\text{[math]}$ 旋转，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，如图 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图 $\text{[math]}$ 所示的位置时， $\text{[math]}$ 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周的过程中，当 $\text{[math]}$ 所在的直线经过点 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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