【感知】如图①，中，，，易知（不需要证明）．

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1.

【感知】如图①， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ （不需要证明）．

(1) 【探究】如图②，四边形 $\text{[math]}$ 是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在 $\text{[math]}$ 上的点A'处，折痕交 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的度数和 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 【拓展】若矩形纸片 $\text{[math]}$ 按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1) 操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.

(2) 迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

(3) 拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.

实践探究题困难

2. 综合与实践：

综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动.

(1) 操作判断：

如图①，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，点A落在点F处，延长DF，与BC的交点为G，则线段FG与线段BG之间的数量关系为 ▲ ；

(2) 迁移思考：

如图②，把 $\text{[math]}$ 按照(1)中的操作进行折叠和作图，请判断FG，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图②证明你的判断；

(3) 拓展探索：

如图①，若AB=2，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=1时，求AD的长.

实践探究题困难

3. 已知正方形ABCD ，将边AB绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至线段AE ， ∠DAE的平分线所在直线与直线BE相交于点F ．

(1) 【探索发现】

如图1，当 $\text{[math]}$ 为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 【深入探究】

在（1）的条件下， ①∠DEB的度数为；②连接CF ，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；

(3) 【拓展思考】

若正方形的边长 $\text{[math]}$ ，当以点C ， F ， D ， E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．

实践探究题困难