设在x轴上方的二次函数解析式为，点在y轴的正半轴上，且满足抛物线上的任意一点M到直线的距离与的长度相等，一次函数经过点F，且与交于A、B两点.

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1. 设在x轴上方的二次函数解析式为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在y轴的正半轴上，且满足抛物线上的任意一点M到直线 $\text{[math]}$ 的距离与 $\text{[math]}$ 的长度相等，一次函数 $\text{[math]}$ 经过点F，且与 $\text{[math]}$ 交于A、B两点.

(1) 求f、a、b的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ ；

(3) 记 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .

【考点】

完全平方公式及运用; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 线段上的两点间的距离; 勾股定理; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，抛物线y＝-x²+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.

(1) 求抛物线和直线AC的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3) 设过E的直线与抛物线相交于点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂），求|x₁-x₂|的最小值.

综合题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转 $\text{[math]}$ 秒后 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

①求 $\text{[math]}$ 的值；

②设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．

综合题困难

3. 完全平方公式是初中数学的重要公式之一： $\text{[math]}$ ，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，

发现： $\text{[math]}$

应用：

(1) 写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，请用m，n表示a、b；

拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1， $\text{[math]}$ ，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）

综合题困难