如图，在矩形中，，点E在上，，，于点分别是线段上的点，且满足，设， .

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 求y关于x的函数表达式.

(3) 连结 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连结 $\text{[math]}$ .

①在 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为一边的角等于 $\text{[math]}$ 时，求y的值.

②作点H关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，当点H落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

解直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 按逆时针顺序排列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，菱形 $\text{[math]}$ 可以绕点 $\text{[math]}$ 旋转，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，如图 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图 $\text{[math]}$ 所示的位置时， $\text{[math]}$ 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周的过程中，当 $\text{[math]}$ 所在的直线经过点 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 如图，已知菱形ABCD， E为对角线AC上一点.

(1) [建立模型]
如图1，连结BE， DE.求证：∠EBC=∠EDC.

(2) [模型应用]
如图2， F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC， EF交AB于点G.

①判断△FBG的形状，并说明理由.

②若G为AB的中点，且AB=4，∠ABC=60°，求AF的长.

(3) [模型迁移]
F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC， EF交射线AB于点G，且sin∠BAC= $\text{[math]}$ ， BF//AC.求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= $\text{[math]}$ ，cot∠ABC= $\text{[math]}$ ，点D是AC的中点．

(1) 求线段BD的长；

(2) 点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．

综合题普通