在中，，将绕点B旋转一定的角度得到.

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B旋转一定的角度得到 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当边 $\text{[math]}$ 恰好经过点C时，边 $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点D恰好在 $\text{[math]}$ 中线 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

三角形内角和定理; 等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. △ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

(1) 如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

(2) 如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

(3) 在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当S_△_DEF= $\text{[math]}$ S_△_ABC时，求线段EF的长．

综合题困难

2. 如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ，旋转角为α，且45°＜α＜90°.

(1) 连接AP，CQ，则 $\text{[math]}$ ＝；

(2) 若QD⊥BC，垂足为点D，∠BQD＝15°，QD与PB交于点E，∠BEQ的平分线EF交AB的延长线于点F.

①求旋转角α的大小；

②求∠F的度数；

③求证：EQ+EB＝EF.

综合题困难

3. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 延长线上．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．观察思考线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系并说明理由．

(3) 在（2）的条件下，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N（如图3），若 $\text{[math]}$ ，旋转角 $\text{[math]}$ 等于多少度时 $\text{[math]}$ 是等边三角形，请写出 $\text{[math]}$ 的值，并说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形的理由．

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