在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，连接，以点A为中心，顺时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为.

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1. 在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以点A为中心，顺时针旋转矩形 $\text{[math]}$ ，旋转角为 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ .

(1) 如图，当点D落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求点D的坐标；

(2) 在（1）的情况下， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点H.
①求证 $\text{[math]}$ ；
②求点H的坐标.

(3) $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ .(直接写出结果即可).

【考点】

坐标与图形性质; 勾股定理; 矩形的性质; 锐角三角函数的定义; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：在矩形 $\text{[math]}$ 中，把矩形 $\text{[math]}$ 绕点C旋转，得到矩形 $\text{[math]}$ ，且点E落在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中所有数量关系为2倍的两条线段．

综合题普通

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，点A的坐标为(4，0).点C的坐标为(0，3).将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形OEFG，点B的对应点F恰好落在y轴正半轴上.将矩形OEFG沿y轴向下平移，当点E到达x轴上时，运动停止.设平移的距离为m，两矩形重叠面积为S.

(1) 求点E的坐标；

(2) 求S与m的函数关系式，并直接写出m的取值范围.

综合题困难

3. 如图，在矩形 ABCD中，AD=10，tan $\text{[math]}$ AEB= $\text{[math]}$ ，点E为BC 上的一点，ED平分 $\text{[math]}$ AEC，

(1) 求BE的值；

(2) 求sin $\text{[math]}$ EDC．

综合题普通