如图，已知是等腰直角三角形，其中，，点为上任意一点，过点作于点，连接，取的中点，连接，，．

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1. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 勾股定理; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E ，联结AD ．

(1) 如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；

(2) 如果AC＝1，tan∠B＝ $\text{[math]}$ ，求∠CAD的正弦值．

综合题普通

2. 小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．

(1) 小平认为长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；

(2) 小平提出将拐弯处改为圆弧（ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长8m，宽3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM⊥OM′，你能帮小平算出，ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？

综合题困难

3. 如图1，用平面去截一个正方体，得到了一个如图2的几何体，通过测量得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通