已知：菱形的边长为， .把一个含的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形的顶点与点重合，三角尺的两边与菱形的两边，分别相交于点，（点，不与端点重合）.

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1. 已知：菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .把一个含 $\text{[math]}$ 的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形 $\text{[math]}$ 的顶点与点 $\text{[math]}$ 重合，三角尺的两边与菱形的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不与端点重合）.

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若以线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边组成的三角形是直角三角形，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

垂线段最短及其应用; 三角形的面积; 三角形全等的判定; 等边三角形的判定与性质; 菱形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.

(1) 求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.

(2) 如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由.

(3) 如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系.

综合题困难

2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．

(1) 求证：△BCE≌△DCF；

(2) 当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．

综合题普通

3. 如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连接EF。求证：

(1) △ADE≌△CDF；

(2) ∠BEF＝∠BFE.

综合题普通