在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，， .

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1. 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) 小昕同学将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转.

（i）如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

（ii）若点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 在同一条直线上，请画出示意图并求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离.

【考点】

三角形的面积; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转30°，得到 $\text{[math]}$ ，延长BC交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 试说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形；

(2) 求DE的长.

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度后，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 刚好落在 $\text{[math]}$ 边上.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

3. 如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB，连接PQ．

(1) 求证：△PBQ是等边三角形；

(2) 求∠BPC的度数；

(3) 求△ABC的面积．

综合题普通