已知：如图①，菱形中，对角线相交于点O，且，．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：

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1. 已知：如图①，菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，直线 $\text{[math]}$ 从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．解答下列问题：

(1) 当t为何值时，点A在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？

(2) 设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求y与t之间的函数关系式；

(3) 如图②，连接 $\text{[math]}$ ，是否存在某一时刻t，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1) 发现问题：如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 类比探究：如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

(3) 拓展应用：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的中心，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是BC中点，连接CD，动点P从点C出发沿折线CD－DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PE⊥AC，垂足为点E，以PE、PD为邻边作平行四边形PDFE．设点P的运动时间为t（秒）．

(2) 当点P在BD上时，求FD的长度（用含t的代数式表示）．

(3) 当平行四边形PDFE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关系式．

(4) 当点F落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出t的值．

综合题困难

3. 如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC ，交OC于点F ．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0<t<5）．解答下列问题：

(1) 当t为何值时，PE∥AB？

(2) 设四边形EFDP的面积为y（ $\text{[math]}$ ），求y与t之间的函数关系式．

(3) 是否存在某一时刻t ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(4) 连接FP ，是否存在某一时刻t ，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难