如图，为矩形的对角线，点E在上，连接， F是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点G，点D恰好是的中点，连接，分别交，于点H，M，连接.

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1. 如图， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 的延长线的一个交点，延长 $\text{[math]}$ 交圆于点G，点D恰好是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点H，M，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

(3) 若H恰好是 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

菱形的判定与性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. （现有若干张相同的半圆形纸片，点 $\text{[math]}$ 是圆心，直径 $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆弧上的一点（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 剪下 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

(2) 分别取半圆弧上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和直径 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(3) 经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点 $\text{[math]}$ ，一定存在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 和直径 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.

综合题困难

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 边上一点，过点D分别作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 下列条件：

①D是 $\text{[math]}$ 边的中点；

② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线；

③点E与点F关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

请从中选择一个能证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形的条件，并写出证明过程；

(2) 若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．

(1) 试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；

(2) 在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8，

①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；

②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．

综合题普通