如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

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1. 如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

(1) 判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

(2) 求证：ND＝NE；

(3) 若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【考点】

菱形的判定与性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

(1) 求证：AC²=CD•BC；

(2) 过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；

②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

综合题困难

2. （现有若干张相同的半圆形纸片，点 $\text{[math]}$ 是圆心，直径 $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆弧上的一点（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 剪下 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

(2) 分别取半圆弧上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和直径 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(3) 经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点 $\text{[math]}$ ，一定存在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 和直径 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 的延长线的一个交点，延长 $\text{[math]}$ 交圆于点G，点D恰好是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点H，M，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.

(3) 若H恰好是 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难