一个长方形台球桌面如图1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，即图1中的.

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1. 一个长方形台球桌面 $\text{[math]}$ 如图1所示，已知台球在与台球桌边缘碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反弹线路与桌边的夹角，即图1中的 $\text{[math]}$ .

(1) 台球经过如图2所示的两次碰撞后，第二次的反弹线路为 $\text{[math]}$ .若开始时的撞击线路为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 台球桌因为长期使用，导致桌角松动变形如图3，在台球经过两次撞击之后，开始时的撞击线路EF所在直线与第二次的反弹线路 $\text{[math]}$ 所在直线相交于点M，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

【考点】

角的运算; 平行线的判定; 三角形内角和定理;

【答案】

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综合题普通

1. 将一幅三角板如图①放置，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为垂足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如图①， $\text{[math]}$ 的度数为， $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 若将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转角 $\text{[math]}$ .

①如图②，当旋转角 $\text{[math]}$ 等于45°时，试问 $\text{[math]}$ 吗？请说明理由；

②如图③，当 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 时，请求出旋转角 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题普通

2. 将一副三角尺拼成如图所示的图形，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ 的度数为．

综合题普通

3. （问题情境）：如图 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

小明的思路是：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ，通过平行线性质来求 $\text{[math]}$ .

(1) 按小明的思路，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) （问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

(3) （问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.

综合题普通